Είναι η ταχύτητα στα Μαθηματικά σημαντική;

Πριν λίγους μήνες απονεμήθηκε στον Καθηγητή Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών Απόστολο Γιαννόπουλο το Βραβείο Εξαίρετης Επιστημονικής Διδασκαλίας Ξανθόπουλου - Πνευματικού. Το βραβείο αυτό απονέμεται από τον Πρόεδρο της Δημοκρατίας κάθε χρόνο σε έναν πανεπιστημιακό δάσκαλο για τις διαλέξεις του στο Πανεπιστήμιο

Μια ανάμνησή μου από τον κο Γιαννόπουλο, ως φοιτητής, ήταν ότι σε μαθήματα που αναλάμβανε μόνος του, να οργανώνει γραπτές εξετάσεις χωρίς προκαθορισμένο χρονικό περιθώριο. Οι εξετάσεις αυτών των μαθημάτων κρατούσαν ένα ολόκληρο απόγευμα χωρίς δέσμευση. Ο εξεταστής κ. Γιαννόπουλος έδινε στους εξεταζόμενους φοιτητές όσες ώρες περίπου ήθελαν, και μετά παρέδιδαν το γραπτό τους.

Φαίνεται περίεργο; Είναι σημαντικό σαν κριτήριο αξιολόγησης για τη λύση ενός μαθηματικού προβλήματος ο χρόνος επίλυσής του. Είναι σημαντικό το περιθώριο των τριών ωρών διάρκειας εξέτασης;  Είναι καλύτερος ο εξεταζόμενος που θα λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα σε 3 ώρες από ένα που θα το λύσει σε 5 ώρες ή σε 5 μέρες; Πόσο σημαντική είναι η ταχύτητα στην αξιολόγηση στα Μαθηματικά;

Τα ερωτήματα αυτά αγγίζουν, εκτός από την τριτοβάθμια εκπαίδευση, και την δευτεροβάθμια και την πρωτοβάθμια. Φυσικά και τις πανελλαδικές εξετάσεις, που έχουν αυστηρή τρίωρη χρονική διάρκεια και είναι και οι πιο σημαντικές εξετάσεις στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα.

Οι πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά των δύο τελευταίων χρόνων (2017 και 2018) έχουν ένα βασικό χαρακτηριστικό, παραδεκτό από όλους. Τα θέματα απαιτούσαν πάρα πολλή χρόνο. Ελάχιστοι μαθητές πρόλαβαν να τα γράψουν όλα, και είναι κάτι πάρα πολύ λογικό, και κάτι που δέχονται ακόμα και οι υποστηριχτές των θεμάτων (Μαυρογιάννης, 2017). Ήταν θέματα που και για να τα σκεφτείς και να τα γράψεις δεν σου έφταναν οι τρεις ώρες. Μπορούσες μόνο να γράφεις, αλλά όχι να σκέφτεσαι. Αλλά, αλήθεια, πώς υπολογίζουμε πόσο χρόνο παίρνει να λυθεί ένα μαθηματικό πρόβλημα;

Ας δούμε το παράδειγμα του ερωτήματος Δ4 των πανελλαδικών εξετάσεων Ιουνίου 2018. Αυτό ζητούσε από τους μαθητές να αποδείξουν μια ανισότητα με ολοκλήρωμα. Οι μαθητές διδάσκονται ότι πρώτα κατασκευάζουν μια ανισότητα, και μετά, με τη χρήση κατάλληλων προτάσεων, εμφανίζουν ολοκληρώματα. Πώς, όμως, μπορούν να αποδείξουν μια τέτοια ανισότητα; Οι μαθητές διδάσκονται ότι έχουν πέντε διαφορετικούς τρόπους: τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα της συνάρτησης και επιπλέον Θεώρημα Μέσης Τιμής ή ακόμα και γνωστές “έτοιμες” από τη θεωρία ανισότητες. Έχει προφανή επιλογή από τις πέντε ο μαθητής; 

Η απάντηση είναι όχι. Στην αρχή θα πρέπει να τους σκεφτεί και τους πέντε. Μπορεί στο πρώτο ερώτημα να έχει βρει την κυρτότητα και εφαπτομένη και στο δεύτερο τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. Η συνάρτηση περιέχει εκθετικά οπότε και η γνωστή ανισότητα ex≥x+1 δε μπορεί να αποκλειστεί από την αρχή. Μόνο ο τέταρτος τρόπος μπορεί να φανεί απίθανος.

Οπότε μένουν τέσσερεις τρόποι που πρέπει να δοκιμάσει και να αφιερώσει χρόνο ο μαθητής (πρακτικά 5, γιατί είχε εξίσου νόημα η εύρεση εφαπτομένης και στο x=2 και στο x=3). Ο χρόνος, όμως, φτάνει μόνο για έναν το πολύ. Υπάρχει μαθηματικό επιχείρημα για το ποιον τρόπο να διαλέξει έναντι των άλλων; Η απάντηση είναι όχι. Το ολοκλήρωμα της ζητούμενης ισότητας δεν έδινε κάποιο προβάδισμα στον ένα ή στον άλλο τρόπο. Άρα;

Άρα τύχη. Όσοι μαθητές επέλεξαν τυχαία το δρόμο της κυρτότητας και της εφαπτομένης στο x=2 επιβραβεύτηκαν, ενώ όσοι άτυχα διάλεξαν άλλο δρόμο όχι. Τύχη. Η τύχη ήταν αυτοί που ως έναν βαθμό έβαλε κάποιους μαθητές σε καλές σχολές, και κάποιους άλλους σε κακές.

Τι συμπεράσματα θα μπορούσε κανείς να βγάλει από τα παραπάνω; Το ένα, ίσως, είναι ότι με τέτοιου τύπου εξετάσεις υποβαθμίζουμε την ίδια τη μαθηματική ικανότητα, γιατί εν τέλει δεν εξετάζουμε αυτήν. Αυτό βέβαια σημαίνει ότι οι πανελλαδικές εξετάσεις δεν είναι αξιοκρατικές, και δεν θα μπορούσαν και να είναι.

Είναι τέτοια φαινόμενα αποτυχία των πανελλαδικών εξετάσεων; Για να το απαντήσουμε αυτό οδηγούμαστε στο επόμενο ερώτημα. Ποιος είναι ο στόχος των πανελλαδικών εξετάσεων; Ένας στόχος των πανελλαδικών εξετάσεων είναι να κατατάξουν τους μαθητές σε κλίμακες αξιολόγησης. Κάποιοι να μπορούν σε ανώτερες σχολές και κάποιοι σε κατώτερες. Το καταφέρνουν αυτό; Φυσικά και το καταφέρνουν. Ο τρόπος που το κάνουν, όμως, τελικά έχει σχέση με τη μαθηματική ικανότητα;

Τελικά πόση αξία έχει η ταχύτητα στην Μαθηματική Εκπαίδευση; Ήταν πάντα τόσο ψηλά τοποθετημένη όσο σήμερα; Μάλλον όχι. Τα Μαθηματικά στα αρχαία χρόνια δεν είχαν ποτέ στο εσωτερικό τους το χρόνο. Η μαθηματικές έννοιες είναι άχρονες (ήταν ένας από τους λόγους που ο Αριστοτέλης δε μπορούσε να δει τη φυσική όπως κατάφερε να τη δει ο Νεύτωνας). Ο χρόνος ως γραμμική μετρήσιμη μεταβλητή εισάγεται στην ανθρωπότητα μόνο τον 17^ο αιώνα με τον Νεύτωνα, το πρώτο μηχανικό ρολόι κατασκευάστηκε το 14^οαιώνα, ενώ το πρώτο χρονόμετρο μόλις το 1926. Η φύση ενός μαθηματικού έργου, αν το δούμε μόνο ως μαθηματικό έργο, δε συνεπάγεται τίποτα για την αξία του χρόνου που χρειάζεται για να λυθεί. Είτε το λύνεις, είτε δεν το λύνεις.

Πως είναι δυνατόν, όμως στη σύγχρονη εκπαίδευση να έχει τόση σημασία ο χρόνος και όλες οι μαθηματικές εξετάσεις σε οποιαδήποτε βαθμίδα να έχουν αυστηρά προκαθορισμένο χρόνο και να βαθμολογούν έξτρα την ταχύτητα; Υπάρχουν ερευνητές, όπως η Anna Llewellyn (2013), που λένε ότι η ταχύτητα έχει εισβάλει στην εκπαίδευση ως κοινωνικά προσδιορισμένη αξία. Ανταποκρίνεται, δηλαδή, σε κοινωνικές αξίες και όχι αξίες που αφορούν την επιστημονική γνώση ή την ίδια την εκπαίδευση. Και αυτές οι αξίες είναι η έννοια της ποσοτικά προσδιορισμένης αποδοτικότητας του εργαζόμενου και η κυβερνησιμότητα των πληθυσμών. Αυτές οι αξίες δεν είναι ούτε πολιτικά ουδέτερες, αλλά συνδέονται με την ιδεολογική ηγεμονία του νεοφιλελευθερισμού και στην εκπαίδευση και τις εκπαιδευτικές πολιτικές.

Σε κάθε περίπτωση η συγκεκριμένη επιλογή του κου Γιαννόπουλου σε βάζει σε σκέψεις. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος έλυνε το διαγώνισμά του όχι σε τρεις ώρες, αλλά σε δέκα. Αυτό, τελικά, είναι κακό ή είναι κέρδος από τη μεριά της γνώσης;

alfavita.gr